<

Matemàtiques 3r ESO

José Manuel Tur Ortega


Unitat didàctica 7: Equacions de primer grau



Exemple 1

Activitat 1

Resol aplicant les regles que hem vist. Comprova que la solució trobada és correcta.

•  x + 4 = 5

•  x – 2 = -1

•  3 – x = 21

•  8x = 24

•  -6x = 72

•  -4x = -24

Exemple 2: Resolent equacions de primer grau

Activitat 2

Calcula el valor de la x que fa certa les igualtat següents:


•  2x + 4 = 16

•  7x + 8 = 57

•  5x – 5 = 25

•  -6x – 1 = -13

Exemple 3: Resolent equacions de primer grau (continuació)

Activitat 3

Resol aquestes equacions. Comprova que la solució trobada és correcta.


•  2x + 5 = 2 + 4x + 3

•  3x – 5 = 2x + 4 + x – 9

•  3x + 8 = 5x + 2

Exemple 4: Resolent equacions de primer grau amb parèntesis

 

Activitat 4

Resol aquestes equacions i comprova que la solució trobada és correcta.

•  4x – 5 = 3x – 2 + x – 5

•  9x – 11 = 4x + 6 + 5x + 5

•  6x + 2x + 4 = 3x + 3 – 5x – 9

Activitat 5

Resol aquestes equacions:

•  4x – 5 = x – 5

•  9x + 3x = 3x + 6 + 5

Què passa quan en els dos membres d'una equació hi ha un mateix terme?

Activitat 6

Resol i comprova la solució trobada:

•  x – 5(x - 2) = 6x.

•  120 = 2x – (15 – 7x).

Activitat 7

Resol aquestes equacions i comprova la solució trobada:

• 

• 

Exemple 5: Resolent equacions de primer grau amb denominadors

Activitat 8

Resol aquestes equacions i comprova la solució trobada:

• 

• 

Activitat 9

Resol les equacions i comprava els resultats trobats:

•  3x – 2·(x + 3) = x – 3·(x + 1)

• 

• 

Activitat 10

Troba dos nombres consecutius que sumin 51.

Activitat 11

Calcula un nombre el doble del qual i el seu triple sumin 10.

Activitat 12

Troba un nombre que, en sumar-li 4, resulti el doble dol nombre menys una unitat.

Exemple 7: Resolució de problemes amb relacions algebraiques entre números .

Resoldre problemes és la part més complicada de les matemàtiques i de la vida en general. I també la més important. Es tracta de llegir atentament els enunciats, captar tota la informació disponible i el que es demana, destriar la informació que ens resulta útil, plantejar l'equació, resoldre-la, i verificar si la solució trobada té sentit i verifica les condicions donades. És a dir, seguir el següent diagrama de flux:

Avui veurem com hem d'afrontar el problemes que inclouen relacions algebraiques entre números o quantitats, és a dir, relacions del tipus:

•  El doble d'un número

•  El triple del número

•  La meitat d'un número

•  La quarta part d'un número

•  El següent d'un número

•  Etc.

El primer que hem de saber és què volen dir aquestes expressions i, sobretot, com s'expressen algebraicament. En realitat és molt fàcil, ja sabem com podem expressar tot això, si x és un nombre indefinit, aleshores,

•  El doble del número x és 2x

•  El triple del número x és 3x

•  La meitat d'un número x és

•  La quarta part d'un número x és

•  El següent d'un número x és (x + 1)

•  Etc.

 

Així doncs, en problemes que ens parlin de números i relacions entre ells l'únic que hem de fer és llegir atentament l'enunciat i anant traduint pas a pas allò que ens diuen al llenguatge algebraic, tenint en compte les relacions que ja coneixem. Vege-m'ho amb un exemple:

•  La suma de dos nombres és 48. Si un és la meitat de l'altre, quins nombres són?

L'enunciat ja ens ho diu tot. Ens dóna l'equació:

1r nombre + 2n nombre = 48

Com no coneixem el 1r nombre l'anomenem x. Del segon nombre sabem que és la meitat de l'altre, o sigui que serà . Així doncs, l'equació queda:

x + = 48.

Si la resolem, tenim

 

Comprovem la solució: 32 + = 32 + 16 = 48 que és el que volíem.

•  La suma de tres nombres consecutius és 63, quins nombres són?

L'enunciat ens dóna l'equació:

1r nombre + 2n nombre + 3r nombre = 63.

La relació entre tots tres és que si el primer és x, el segon és (x + 1) i el tercer (x + 2). Així doncs, l'equació queda:

x + (x + 1) + (x + 2) = 63.

Si la resolem, tenim

 

Comprovem que efectivament 20, 21, 22 són 3 nombres consecutius que sumem 63, com ens demanaven.

Exemple 8: Resolució de problemes amb relacions algebraiques entre números

A vegades ens demanen relacions entre nombres parells o senars. Es de tots ben conegut que els nombres parells són 2, 4, 6, 8, ..., i el senars 1, 3, 5, 7, 9, ... Així doncs, si volem obtenir un nombre que obligatòriament sigui parell ho haurem de posar de la forma 2x, ja que sigui quin sigui x (1, 2, 3, ...) el resultat de fer 2x serà parell, que és el que volem. Si volem dos nombres parells consecutius el primer serà 2x, el següent parell és 2x + 2, ja que els parells es diferencien sempre en dos unitats.

Els senars són els següents de tots els parells, és a dir, 2x +1, 2x + 3, 2x + 5, etc.

Així doncs, recapitulant:

Vegem com s'aplica en un exemple.

•  La suma de dos nombres consecutius imparells és 156. De quins nombres es tracta?

L'enunciat ens dóna l'equació:

1r nombre + 2n nombre = 156.

Com el primer nombre és senar ha de ser: 2x + 1, i el segon nombre és el seu senar consecutiu, o sigui: 2x + 3. Així l'equació ens queda:

(2x + 1) + (2x + 3) = 156.

Si la resolem obtenim:

Com x és 38, el dos nombres buscats són:

•  1r nombre: 2x + 1 = 77

•  2n nombre: 2x + 3 = 79.

Comprovem que, efectivament, 77 i 79 són dos nombres senars consecutius i la seva suma és 156, com se'ns demanava.

Exemple 9:Resolució de problemes de mescles

Moltes vegades se'ns plantegen problemes de mescles per a obtenir una propietat final de la mescla determinada.

•  Per exemple, sabem que l'aigua freda de l'aixeta surt a 20ºC i la calenta a 60ºC . Si volem ficar-hi 80 litres i la temperatura que desitgem és de 28ºC per a banyar-nos, quants litres d'aigua calenta i de freda hem de posar-ne?

En aquest cas tenim dos tipus d'aigua: la freda i la calenta. No sabem quanta aigua calenta ni quanta aigua freda s'ha de posar. Però sí sabem una cosa molt important: la quantitat total seran 80 litres . Així, per exemple, si suposem que l'aigua freda són x litres, d'aigua calenta només podem afegir-ne (80 – x), perquè el total és de 80. Sabent això ja podem plantejar l'equació:

(litres d'aigua freda)·20 + (litres d'aigua calenta)·60 = (total litres)·28

És a dir,

20x + (80 – x)·60 = 80·28.

Si la resolem obtenim:

És a dir, haurem de posar 64 litres d'aigua freda i (80 – 64) = 16 litres d'aigua calenta.

Exemple 10: Resolució de problemes de velocitats

 

Una altre tipus típic de problemes que podem resoldre són els que involucren dos vehicles que es mouen amb diferents velocitats en un mateix sentit o oposat.

•  Per exemple, sabem que entre Eivissa i Sant Antoni hi ha 16 km de distància. Si a la mateixa hora una persona surt de Sant Antoni cap Eivissa caminant a velocitat constant de 5 km/h i una altra surt d'Eivissa cap a Sant Antoni en bicicleta a la velocitat constant de 12 km/h , quant tardaran a trobar-se? A quina distància de Sant Antoni es troben?

En aquestos problemes el sabem dues coses:

•  Per a cada vehicle a velocitat constant, l'espai recorregut en un cert moment és igual a la velocitat pel temps transcorregut.

•  Sempre hi ha una relació entre l'espai recorregut entre tots dos.

En el nostre exemple l'espai recorregut caminant és 5·x si x és el temps que està caminant. Per a la bicicleta l'espai recorregut en el mateix temps x serà 12·x. D'altra banda, per trobar la relació entre l'espai recorregut entre ells, la millor solució és fer-ne un dibuix. En el nostre cas:

Així doncs, la suma de les distàncies recorregudes entre tots dos és de 16 km:

5x + 16x = 16

21x = 16

Triguen hores a trobar-se. La distància des de Sant Antoni és la que ha recorregut el vianant, és a dir, l.

Fer el dibuix és molt important perquè a vegades tots dos mòbils avancen en el mateix sentit i per interpretar bé l'enunciat és molt aclaridor.

Activitat 13

La suma de tres nombres imparells consecutius és 51. Troba aquests nombres.

Activitat 14

La suma de quatre nombres imparells consecutius és 1216. Troba aquests nombres.

Exemple 11: Resolució de problemes d'edats

Una altre tipus de problemes habituals que es poden resoldre amb equacions de primer grau són els d'edats. Quan volem esbrinar les edats d'una o vàries persones i ens donen alguna relació entre l'edat que tenen ara i la que tindran d'aquí a uns anys. Vege-m'ho amb un exemple:

•  El ca de n'Aleix té 12 anys menys que ell. D'aquí quatre anys, n'Aleix tindrà el triple de l'edat del ca. Quines són les seves edats?

La part que relaciona les edats de n'Aleix i el ca són fàcils. Si ara mateix n'Aleix té x anys, el ca en té x – 12 (12 menys que ell). Quan passin quatre anys, l'edat de cadascú serà:

 

Ara

D'aquí 4 anys

Aleix

x

x + 4

ca

x - 12

(x – 12) + 4

L'enunciat ens diu que d'aquí 4 anys l'edat de n'Aleix serà el triple que la del ca, és a dir:

x + 4 = 3·(x – 12 + 4)

x + 4 = 3x – 36 + 12

x – 3x = -36 + 12 – 4

-2x = -28

.

És a dir, n'Aleix té 14 anys i el seu ca 2. En efecte, d'aquí 4 anys n'Aleix tindrà 18 i el ca 6, que compleixen la relació que ens demanava l'enunciat.

Activitat 15

La suma de 3 nombres parells consecutius és 348. Troba aquests nombres.

Activitat 16

Troba un nombre sabent que el doble del seu següent és igual a la meitat del número més 22 unitats.

Exemple 12: Resolució de problemes

A vegades els problemes que tenim no pertanyen a cap dels tipus comentats, però podem trobar-hi semblances evidents. Així doncs, el que hem de fer és aplicar la situació coneguda a la qual s'assemblen. Per exemple,

•  Calcula les longituds dels costats d'un rectangle de perímetre 84 cm si la base mesura 8 cm més que l'alçada.

Primer de tot fem un dibuix del rectangle. No sabem quant mesuren ni la base ni l'alçada, però sí que la base mesura més que l'alçada. Concretament 8 cm més, o sigui que si l'alçada desconeguda és x, la base serà 8 + x.

Com que el perímetre és la suma dels quatre costats, serà:

x + x + 8 + x + x + 8 = 84,

4x = 84 – 8 – 8

4x = 68

Si x = 17 cm , les alçades mesuren 17 cm cadascuna i les bases 25 cm . Sumant les 4 surt 84 cm , que és el perímetre del rectangle proposat.

Exemple 6: Resolució general d'equacions de primer grau

Activitat 17

Trobar un nombre parell tal que la diferència entre el seu doble i la seva meitat sigui 36.

Activitat 18

Disposem de dos tipus de te: un de Tailàndia, a 5,20€/kg, i un altre de l'India, a 6,20€/kg, i volem obtenir 100 kg de te a 6€/kg. Quants de quilos hem de mesclar de cada tipus de te?.

Activitat 19

Quants de litres de llet de 0,75 €/l s'han de mesclar amb llet de 0,85 €/l per aconseguir 100 litres a 0,77 €/l?.

Activitat 20

A les 7 del matí, en Tomàs surt de Zamora en direcció a Cadis, distants entre si 660 km , a una velocitat de 75 km/h . A la mateixa hora, na Natàlia surt de Cadis i es dirigeix a Zamora per la mateixa carretera que en Tomàs a una velocitat de 60 km/h . A quina hora es creuaran? I a quina distància estaran de Cadis?

Activitat 21

Un camió surt d'una ciutat a una velocitat de 80 km/h i, dues hores més tard, surt un cotxe de la mateixa ciutat a 120 km/h . A quina distància de la ciutat agafarà el cotxe al camió?

Activitat 22

N' Antònia viatja de Barcelona – Sevilla amb el seu cotxe. Surt a les 8 del matí i duu una velocitat constant de 90 km/h . A 110 km de Barcelona, en Joan agafa, a la mateixa hora, un autobús que viatja a 70 km/h , amb la mateixa direcció que n'Antònia. A quina hora es troba n'Antònia amb l'autobús? Quina distància ha recorregut cada un?

Activitat 23

En Miquel té 4 anys més que seu cosí Ignasi i, d'aquí a 3 anys, entre els dos sumaran 20 anys. Quants d'anys té cada un?

Activitat 24

Quina edat tinc ara si d'aquí a 12 anys tindré el triple de l'edat que tenia fa 6 anys?

Activitat 25

He pagat 14,30 € per un bolígraf, un quadern i una carpeta. Si el preu de la carpeta és 5 vegades el del quadern i aquest costa el doble que el bolígraf, quin és el preu de cada article?

Activitat 26

Amb 3,5 € més dels diners que tinc, podria comprar la camiseta del meu equip. Si tingués el doble, em sobrarien 7,25 €. Quants de diners tinc?